Lineare Algebra

Vorlesung im Wintersemester 2015/16, BaM-LA1/L3M-AG
von Prof. Dr. Jakob Stix
Assistent: Nithi Rungtanapirom


Vorlesung

Koordinaten

Ort: Dienstag Hörsaal H16, Donnerstag Hörsaal I (römisch 1!), Hörsaaltrakt Bockenheim
Zeit: Dienstag 10-12, Donnerstag 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Ankündigung

  • Die Nachklausur ist fertig korrigiert. Im OLAT können Sie Ihr eigenes Ergebnis ansehen. Die Notenspiegel finden Sie hier. Die Möglichkeit zur Einsicht der Nachklausur besteht am Dienstag, den 22.03., von 10:00-12:00 im Raum 217 der Robert-Mayer-Str. 6-8.
  • Die Klausur ist fertig korrigiert. Im OLAT können Sie Ihr eigenes Ergebnis ansehen. Die Notenspiegel finden Sie hier.
  • Die Möglichkeit zur Klausureinsicht besteht am Montag, den 22.02., von 10:00-12:00 im Raum 217 der Robert-Mayer-Str. 6-8.
  • Aus dem Sommersemester 2015 existieren Vorlesungsaufzeichnungen, die über das Portal e-learning abgerufen werden können. Die Videos sind passwortgeschützt. Das Passwort kann bei e-learning unter der email elearning[AT]math.uni-frankfurt.de nachgefragt werden.
    Ferne gibt es Erklärvideos, in denen wichtige Begriffe und Sätze anhand von audiovisuellen Aufzeichnungen erklärt werden. Diese finden Sie auf dieser Seite, und zwar auf der Navigation links unter Zusatzmaterial.
  • Die Anmeldung zu den Übungsgruppen ist abgeschlossen. Bei Fragen oder Problemen wenden Sie sich bitte an Nithi Rungtanapirom.

Skript

  • Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 11. Februar 2016.
  • Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.

Zum Inhalt der Vorlesung

Die Lineare Algebra gehört zum Beginn des Mathematikstudiums wie das Erlernen der Buchstaben am Beginn der Grundschule. Unter einem starken Mikroskop sehen viele Sturkturen linear aus. Die Lineare Algebra behandelt das zur Beschreibung nötige Matrizenkalkül, beschreibt abstrakt algebraisch die auftretenden linearen Strukturen (Vektorräme und lineare Abbildungen), und entwickelt eine Theorie, mit der lineare Probleme beherrscht werden können.

Aufgrund der Abstraktion finden wir lineare Algebra in vielseitigen Situationen wieder. Ein (der Einfachheit halber) schwarz-weiß Bild ist ein Vektor in einem Vektorraum mit Koordinaten nur 0 oder 1 (diese 0 und 1 soll man am besten als Elemente des Körpers mit nur zwei Elementen auffassen). Jedes Pixel gibt einen Wert/Koordinate. Läßt man ein paar Koordinaten weg, dann wird das Bild mit weniger Pixeln dargestellt und wird unscharf oder eine Stelle verschwindet. Das geht also nicht.
Um den Speicherbedarf zu reduzieren, bietet es sich an, eine Basistransformation zu machen, so daß zwar dasselbe Bild (Vektor) beschrieben wird aber die Koordinaten nun über das ganze Bild verschmiert eine Bedeutung haben. Wenn man nun weiß, welche Koordinaten in unserer Wahrnehmung des Bildes keine so große Rolle spielen, dann kann man diese Kordinaten getrost vergessen und hat immer noch (fast) das gleiche Bild. So funktioniert im Prinzip Datenkompresssion.

Der ursprüngliche Bewertungsalgorithmus für Suchergebnisse von Google beruht auf einem einfachen linearen Modell einer zufälligen Wanderung durch die Seiten des www. Die Bewertung entstammt dann einem Eigenwertproblem, genauer dem zugehörigen Eigenvektor.

In der Vorlesung lernt man weder Bilddatenkompression noch fehlerkorrigierende Codes (ein weiteres, unbemerkt alltägliches Beispiel abstrakter Vektorräume) noch Googles Suchalgorithmus. Es werden aber die Grundlagen gelegt, um diese Anwendungen der linearen Algebra untersuchen und verstehen zu können, so in etwa wie man mit den Buchtaben Wörter bilden und schließlich ein Buch lesen kann.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit den folgenden Themen beschäftigen:

  • Grundstrukturen: Mengen, Gruppen, Ringe, Körper
  • Matrixkalkül und lineare Gleichungssysteme
  • Objekte: Vektorräume
  • Morphismen: lineare Abbildungen
  • Die Determinante
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Normalformen

Empfohlene Literatur

Albrecht Beutelspacher Lineare Algebra, Springer, 2014, xiv+368 Seiten..
Siegfried Bosch Lineare Algebra, Springer, 2014, x+385 Seiten.

Beide Bücher stehen Studierenden der Goethe-Universtät als e-books zur Verfügung.


Übungen

Organisation

  • Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt im OLAT und ist freigeschaltet bis 15.10. um 23:00 Uhr.
  • Beginn des Übungsbetriebs am 19.10.2015 (in der zweiten Vorlesungswoche).
  • Das neue Übungsblatt gibt es jeweils donnerstags auf dieser Seite und im OLAT. Die Abgabe der Lösungen erfolgt durch Einwerfen in das Postfach des jeweiligen Tutors, Robert-Mayer-Straße 6, dritter Stock. Abgabeschluss ist immer am Donnerstag um 10 Uhr eine Woche später.
  • Sollten abgegebene Lösungen verschiedener Personen identisch sein, so werden sie alle mit null Punkten bewertet. Abschreiben ist kein Kavaliersdelikt, sondern ein Betrugsversuch!

Übungsblätter

Die Präsenzblätter werden während der Übungen bearbeitet. Sie müssen nicht vorbereitet werden. Bitte bringen Sie sich die Präsenzblätter selbst in die Übungen mit, am besten elektronisch.

Nützliche Hinweise

  • Nutzen Sie das Angebot des Lernzentrums.
  • Im OLAT gibt es Lösungsskizzen zu ausgewählten Übungsaufgaben. Bitte beachten Sie, dass diese idR keine vollständige Lösungen darstellen, sondern nur dazu dienen, die Ideen zur Lösung der Aufgaben zu vermitteln.

Klausur

Zeit, Ort, Organisatorisches

  • Die Klausuranmeldung ist bereits abgeschlossen.
  • Die Klausur dauert 120 Minuten und findet am 18.02.2016 im Hörsaal V von 9:30 bis 11:30 statt. Kommen Sie rechtzeitig, damit wir pünktlich beginnen können.
  • Hier finden Sie die Information zur Sitzplatzaufteilung sowie weitere Informationen zur Klausur
  • Sie müssen Ihre Goethe-Card zur Identifizierung zur Klausur mitbringen.

Zulassungsvoraussetzung

Im Bachelorstudium verlangt der Modul BaM-LA1 als Studiennachweis einen Leistungsnachweis bestehend aus Übungsaufgaben und benoteter Klausur. Im L3-Studium verlangt der Modul L3M-AG unter anderem eine bestandene Klausur in Linearer Algebra und einen Teilnahmenachweis aus den Übungen.

Konkret verlangen wir von Bachelor und L3-Studierenden gleichermaßen:

  • 30% der Punkte aus den Übungsblättern zur Vorlesung.
  • Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Übungen (es gilt Anwesenheitspflicht, und man muß damit rechnen, eigene Ausarbeitungen der Übungsaufgaben vorzurechnen).
  • Die Klausurzulassung aus früheren Semestern wird anerkannt.

Hilfsmittel zu Klausur und Nachklausur

  • Zugelassen ist eine namentlich gekennzeichnetes, eigenhändig handschriftliches DINA4 Blatt. Das Blatt kann beidseitig beschrieben werden.
  • Alles, was nicht explizit zugelassen ist, ist nicht zugelassen: also keine Bücher oder Skripte.
  • Es gilt das Nokia-Gambit: elektronische Geräte sind auszuschalten und führen andernfalls zum sofortigen Nichtbestehen der Klausur.

Klausureinsicht

Die Möglichkeit zur Klausureinsicht besteht am Montag, den 22.02., von 10:00-12:00 im Raum 217 der Robert-Mayer-Str. 6-8.

Nachklausur

Zeit, Ort, Organisatorisches

  • Die Nachklausur dauert 120 Minuten und findet am 18.03.2016 im Hörsaal III von 9:30 bis 11:30 statt. Die Anmeldung erfolgt automatisch durch Zulassung zur Nachklausur.
  • Sie müssen Ihre Goethe-Card zur Identifizierung zur Klausur mitbringen.

Zulassungsvoraussetzung

  • Sie müssen die Klausur am 18.02.2016 mitgeschrieben und nicht bestanden haben.

Klausureinsicht

Die Möglichkeit zur Klausureinsicht besteht am Dienstag, den 22.03., von 10:00-12:00 im Raum 217 der Robert-Mayer-Str. 6-8.