Seminar zur Zahlentheorie

Seminar im Sommersemester 2016, BaM-ZT- *s, MaM-ZT-gs
von Prof. Dr. Jakob Stix

Seminar:
Die Brauergruppe eines lokalen Körpers: lokale Klassenkörpertheorie

Koordinaten

Ort: Hörsaal 309, RM 6-8
Zeit: Dienstag + Mittwoch 14-16
Dauer: ab dem 31.05. bzw. 01.06.2016 (die zweite Hälfte des Semesters mit 4 SWS)
QIS/LSF: Seminar

Ankündigung

  • Vorbesprechung: 3. Mai 2016, 16:00, im Besprechungsraum, RM 6-8, Raum 217

Zum Inhalt des Seminars

Klassenkörpertheorie studiert abelsche Erweiterungen eines Zahlkörpers K, das sind galoissche Erweiterungen L/K mit abelscher Galoisgruppe Gal(L/K). Gemäß eines formalen Konzepts werden namensstiftend gewissen Restklassengruppen aus der Arithmetik von K (im weitesten Sinne die multiplikative Gruppe Kx) Galoiserweiterungen zugeordnet. Damit wird eine Brücke zur Arithmetik in Erweiterungen von K geschlagen, dem Lösen von Gleichungen in K-Algebren. Das einfachste Beispiel beschreibt die Kreisteilungskörper und ihre Galoisgruppe mittels des zyklotomischen Charakters:

Gal(Q(ζn)/Q) = (Z/nZ)x

Zur Erzeugung der Körpererweiterung werden (im lokalen Fall) Punkte endlicher Ordnung einer (formalen) algebraischen Gruppe bemüht. Bei Q(ζn/Q sind dies die Punkte der Ordnung n der multiplikativen Gruppe, also die Einheitswurzeln.

Beginnend mit Gauß und seinem quadratischen Reziprozitätsgesetz, das als Modell der Verbindung zwischen lokaler und globaler Klassenkörpertheorie verstanden werden kann, hat dieses Gebiet eine lange und wechselvolle Entwicklung erfahren. Seine erfolgreiche Bewältigung stellt eine herausragende Leistung der Mathematik des 20.~Jahrhunderts dar und dient als Grundlage für aktuelle Mathematik (Langlands-Programm, höhere Klassenkörpertheorie, anabelsche Geometrie).

Das Seminar wird konsequent den kohomologischen Zugang zur Klassenkörpertheorie verfolgen und mit lokaler Klassenkörpertheorie ausreichend beschäftigt sein. Lokale Klassenkörpertheorie beschäftigt sich mit abelschen Erweiterungen lokaler Körper, also Erweiterungen von Qp bzw. Fq((π)) oder R.

Es ist geplant, dem Seminar eine Vorlesung über globale Klassenkörpertheorie folgen zu lassen.

Empfohlene Literatur

Emil Artin, John Tate Class Field Theory Benjamin, 1967.
Cassels, J. W. S., Fröhlich, A. Algebraic Number Theory, 1967.
Jürgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie, Nachdruck, Springer, 2006.
Jürgen Neukirch Klassenkörpertheorie, BI, 1969.
Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg Cohomology of number fields, zweite Auflage, Springer, 2008, xvi+825 Seiten.
Jean-Pierre Serre Galois Cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2002, x+210 Seiten.
Jean-Pierre Serre Local Fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics 67, 1979.

Voraussetzungen

Benötigt werden Kenntnisse aus den Vorlesungen Algebra, Elementare Zahlentheorie und Proendliche Gruppen. Die Vorlesungen Algebraische Zahlentheorie und Kommutative Algebra sind hilfreich aber nicht notwendig.