Algebra

Vorlesung im Wintersemester 2016/17, BaM-AZ-g, L3M-HM
von Prof. Dr. Jakob Stix


Vorlesung

Koordinaten

Ort: Raum 308, RM 6-8 (Ersatz: 311, RM10)
Zeit: Dienstags + Donnerstags 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Ankündigungen

  • Ab Januar 2017 findet die Vorlesung im Raum 311, RM 10 statt.
  • Die Vorlesung am Donnerstag, den 3.11., entfällt.
  • Bitte melden Sie sich bis spätestens 20.10. um 20 Uhr in eine Übungsgruppe im OLAT an.

Skript

  • Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 7. Februar 2017
    Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.
  • Bisher behandelte Themen
    1. Faktorringe des Polynomrings
    2. Körpererweiterungen
    3. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
    4. Lokalisierung und Quotientenkörper
    5. Adjunktion einer Nullstelle
    6. Körpereinbettungen, lineare Unabhängigkeit von Charakteren
    7. Zerfällungskörper, normale Erweiterungen
    8. Maximale Ideale und das Lemma von Zorn
    9. algebraischer Abschluß und die Steintz'schen Sätze
    10. diskrete Bewertungsringe, Gauß-Lemma, Eisenstein-Kriterium, Irreduzibilität
    11. Charakteristik und Primkörper
    12. Frobenius
    13. algebraische Differentiation, separable Polynome, separable Elemente, separable Erweiterungen
    14. Endliche Körper
    15. Endliche multiplikative Gruppen in Körpern sind zyklisch
    16. Satz vom primitiven Element
    17. galoissche Körpererweiterungen
    18. Hauptsatz der Galoistheorie
    19. Permutationsgruppen und Galoistheorie von Polynomen
    20. Norm und Spur
    21. Einheitswurzeln und Kreisteilungskörper
    22. Sylowsätze
    23. p-Gruppen
    24. Fundamentalsatz der Algebra
    25. Auflösbarkeit und Radikalerweiterungen
    26. Funktionenkörper, Transzendenzgrad
    27. Symmetrische Polynome und die allgemeine Gleichung

Zum Inhalt der Vorlesung

Das vorrangige Thema der Vorlesung ist die Theorie der Körper, von denen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) und C (komplexe Zahlen) bekannte Beispiele sind. Der Übergang von R nach C entsteht durch formales Hinzufügen der Lösung einer Polynomgleichung f(x) = 0, nämlich mit f(x) = x2+1. Dies ist ein Modellfall, der in der Vorlesung allgemein behandelt wird und in der Galoistheorie endlicher Körpererweiterungen L/K gipfelt: die Symmetrien der Lösungen einer Polynomgleichung beschreiben die algebraische Struktur von L/K.

Galoistheorie führt klassische Fragen auf endliche Gruppentheorie zurück, etwa:

  • Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel dritteln?
  • Kann man mit Zirkel und Lineal einen Würfel verdoppeln?
  • Welches regelmäßige n-Eck läßt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?
  • Gibt es eine Lösungsformel für Polynomgleichungen allein mit (höheren) Wurzeln (analog der p/q-Formel für quadratische Gleichungen) auch in höheren Graden?

Die nötige Gruppentheorie zur Beantwortung der entsprechenden Fragen über endliche Gruppen wird in der Vorlesung bereitgestellt. Dazu gehören die Begriffe Auflösbarkeit, Sylow-Gruppe, nilpotente Gruppe.

Weitere Themen je nach Zeit:

  • Galoistheorie endlicher Körper
  • Kreisteilungskörper
  • Die allgemeine Gleichung und elementarsymmetrische Polynome

Empfohlene Literatur

[Ar93] Michael Artin, Algebra, Birkhäuser, Basel, 1993, xiv+705 Seiten.
[Bo08] Siegfried Bosch, Lineare Algebra, Springer, 2008, x+297 Seiten.
[KM13] Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, Algebra. Gruppen, Ringe, Körper, 3. Auflage, Heidelberg, Springer Spektrum, 2013, xi+386 Seiten.
[La02] Serge Lang, Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 211, Springer-Verlag, New York, 2002, xvi+914 Seiten.

Übungen

Organisation

  • Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt im OLAT und ist freigeschaltet von 13.10. um 15:00 Uhr bis 20.10. um 20:00 Uhr.
  • Beginn des Übungsbetriebs am Freitag, dem 21.10.2016.
  • Das neue Übungsblatt gibt es jeweils dienstags auf dieser Seite und im OLAT. Die Abgabe der Lösungen erfolgt durch Einwerfen in das Postfach des jeweiligen Tutors, Robert-Mayer-Straße 6, dritter Stock. Abgabeschluss ist immer am Dienstag um 10 Uhr eine Woche später.
  • Sollten abgegebene Lösungen verschiedener Personen identisch sein, so werden sie alle mit null Punkten bewertet. Abschreiben ist kein Kavaliersdelikt, sondern ein Betrugsversuch!

Übungsblätter

Übungstermine

  • Fr. 14:00-16:00, Raum 309, RM 6-8 (Ersatz: Raum 107, RM 10)
  • Mo. 16:00-18:00, Raum 309, RM 6-8 (Ersatz: Raum 107, RM 10)

Nützliche Hinweise


Modulprüfung

Zeit, Ort, Organisatorisches

    • Es finden mündliche Prüfungen statt. Diese dauern etwa 30 Minuten. Der Prüfungstemine sind am

      16.+17. Februar 2017 sowie am 29.+30. März 2017.

      Bitte lassen Sie sich von Frau Salzmann per email einen Termin geben.