Algebra und Geometrie

Algebra

Vorlesung im Wintersemester 2019/20, BaM-Alg-g, M11-HM
von Prof. Dr. Jakob Stix

    • Die Vorlesung vom Di 5.11.2019 tauscht mit der Übung vom Di 5.11.2019, also einmalig am Di 5.11.2019 Vorlesung 14-16 und Übung 16-18.
    • Am Do 30.01.2020 fällt die Vorlesung aus.

Vorlesung

Koordinaten

Ort: Raum 308, RM 6-8
Zeit: Dienstags 16:30-18:00 + Donnerstags 12-14
QIS/LSF: Vorlesung, Übung

Skript
  • Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 7. Februar 2017
    Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.

Zum Inhalt der Vorlesung

Das vorrangige Thema der Vorlesung ist die Theorie der Körper, von denen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) und C (komplexe Zahlen) bekannte Beispiele sind. Der Übergang von R nach C entsteht durch formales Hinzufügen der Lösung einer Polynomgleichung f(x) = 0, nämlich mit f(x) = x2+1. Dies ist ein Modellfall, der in der Vorlesung allgemein behandelt wird und in der Galoistheorie endlicher Körpererweiterungen L/K gipfelt: die Symmetrien der Lösungen einer Polynomgleichung beschreiben die algebraische Struktur von L/K.

Galoistheorie führt klassische Fragen auf endliche Gruppentheorie zurück, etwa:

  • Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel dritteln?
  • Kann man mit Zirkel und Lineal einen Würfel verdoppeln?
  • Welches regelmäßige n-Eck läßt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?
  • Gibt es eine Lösungsformel für Polynomgleichungen allein mit (höheren) Wurzeln (analog der p/q-Formel für quadratische Gleichungen) auch in höheren Graden?

Die nötige Gruppentheorie zur Beantwortung der entsprechenden Fragen über endliche Gruppen wird in der Vorlesung bereitgestellt. Dazu gehören die Begriffe Auflösbarkeit, Sylow-Gruppe, nilpotente Gruppe.

Weitere Themen je nach Zeit:

  • Galoistheorie endlicher Körper
  • Kreisteilungskörper
  • Die allgemeine Gleichung und elementarsymmetrische Polynome

Empfohlene Literatur

[Ar93] Michael Artin, Algebra, Birkhäuser, Basel, 1993, xiv+705 Seiten.
[Bo08] Siegfried Bosch, Lineare Algebra, Springer, 2008, x+297 Seiten.
[KM13] Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, Algebra. Gruppen, Ringe, Körper, 3. Auflage, Heidelberg, Springer Spektrum, 2013, xi+386 Seiten.
[La02] Serge Lang, Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 211, Springer-Verlag, New York, 2002, xvi+914 Seiten.

Übung

Übungsblätter

Blatt 1 - Abgabe Donnerstag, 24.10.19 (Vorbereitung zu Blatt 1)

Blatt 2 - Abgabe Donnerstag, 31.10.19 (Vorbereitung zu Blatt 2)

Blatt 3  (Aufgabe 5 korrigiert) - Abgabe Donnerstag, 07.11.19 (Vorbereitung zu Blatt 3)

Blatt 4 - Abgabe Donnerstag, 14.11.19 (Vorbereitungen zu Blatt 4)

Blatt 5 - Abgabe Donnerstag, 21.11.19 (Vorbereitung zu Blatt 5)

Blatt 6 - Abgabe Donnerstag, 28.11.19 (Vorbereitung zu Blatt 6)

Blatt 7 - Abgabe Donnerstag, 05.12.19 (Vorbereitung auf Blatt 7)

Blatt 8 - Abgabe Donnerstag, 12.12.19

Blatt 9 - Abgabe Donnerstag, 19.12.19 (Vorbereitung auf Blatt 9)

Blatt 10 - Abgabe Donnerstag, 16.01.20

Blatt 11 - Abgabe Donnerstag, 23.01.20 (Vorbereitung auf Blatt 11)

Blatt 12 - Abgabe Donnerstag, 30.01.20

Blatt 13 - Nicht abgeben, Wiederholungsblatt.

Übungstermin

  • Dienstag 14:45-16:15, Raum 308, RM 6-8

Prüfungen

Mündliche Prüfungen finden zu folgenden Terminen statt:

  • Mittwoch, 19. + Freitag, 21. Februar 2020 sowie
  • Dienstag, 24. + Mittwoch, 25. März 2020.

Prüfungstermine können bei Cornelia Salzmann per email oder im Büro Raum 208, RM 6-8 vereinbart werden. [Bürozeiten: Mo. 8.30-14.30, Di. 8-13, Mi.+Do. 10-14.30 Uhr]

Nützliche Hinweise