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Institut für Mathematik
Fachbereich Mathematik (12)

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frühere Mathematik-AGs:

Herbst 2009: Eindimensionale Dynamik und Chaos

"Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?“ Diese Frage stand am Anfang eines viel beachteten Vortrags des Meteorologen Edward N. Lorenz im Jahr 1972. Dort zeigte er, dass in manchen dynamischen Systemen der Natur kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen dramatische Konsequenzen für die zukünftige Entwicklung haben können. Diese Empfindlichkeit gegenüber Störungen ist charakteristisch für chaotisches Verhalten und macht insbesondere langfristige Wettervorhersagen weitgehend unmöglich. In dieser AG haben wir die Eigenschaften chaotischer und nichtchaotischer dynamischer Systeme in einem relativ leicht zugänglichen Rahmen erforscht. Tatsächlich definiert nämlich jede Funktion eines Intervalls in sich bereits ein dynamisches System, in dem überraschende Phänomene auftreten können. Auf unserer Entdeckungstour ins Chaos hatten wir hier schon in anschaulicher Weise wichtige dynamische Begriffe kennengelernt: anziehende und abstoßende Fixpunkte, periodische Punkte, Hyperbolizität, Verzweigung, etc. Den Höhepunkt der AG bildete der Satz "Period three implies Chaos" von Li und Yorke (1975), der eine Klasse "chaotischer Funktionen" sehr einfach charakterisiert.

 

Frühjahr 2009: Komplexe Zahlen oder Von √-1 bis zu den Fraktalen

In der Schule lernt man, dass die Gleichung x2 + 1 = 0 keine reellen Lösungen hat, bzw. dass man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. Aber die Mathematiker haben eine Antwort auf dieses Problem: Sie "erfinden" Zahlen, deren Quadrate auch negativ sein können. Solche Zahlen heißen komplexe Zahlen und wurden schon von dem berühmten Mathematiker Gauß studiert. Wir können sie uns als Vektoren in der Ebene vorstellen und das Rechnen mit diesen Zahlen können wir geometrisch sehen. Sie haben nicht nur die wunderbare Eigenschaft, dass Polynomgleichungen immer lösbar sind, sondern wir entdecken auch die wahre Natur mancher Funktionen nur, wenn wir sie als Funktionen von komplexen Zahlen auffassen. Neben den komplexen Zahlen  haben wir in der AG gelernt, wie Fraktale, also Figuren wie das Apfelmännchen, aus komplexen Zahlen entstehen und wie Quaternionen, gewisse Verallgemeinerung von komplexen Zahlen, die Mathematik bereichern.

 

Winter 2008: Die Mathematik des Schönen oder Kann denn Mathe schön sein?

Viele Menschen empfinden antike Skulpturen und Architektur sowie die Kunst der Renaissance als zeitlos schön und besonders harmonisch. Die Mathematik findet gemeinsame Muster in vielen dieser Kunstwerke, und erstaunlicherweise finden wir solche mathematischen Muster auch in der Natur, etwa in der Welt der Pflanzen. In der AG haben wir diese spannende Mathematik des Schönen vorgestellt und dabei grundlegende mathematische Konzepte und Prinzipien kennengelernt, die auch für andere Fragen der modernen Mathematik eine wichtige Rolle spielen.

 

Sommer 2008: Kryptologie oder Wie man mit Mathematik Geheimnisse bewahrt

Wir haben interessierte Schülerinnen und Schüler der Klassen 11 bis 13 eingeladen, sich mit dem spannenden und alltagsnahen Thema der mathematischen Verschlüsselungsverfahren zu beschäftigen. Seit der Antike wurden Botschaften für diplomatische und militärische Zwecke verschlüsselt. In unserer modernen vernetzten Welt kommen ständig Verschlüsselungsverfahren im Computer zum Einsatz, wenn auch oft unbemerkt vom Benutzer. Wir haben in dieser Mathematik-AG sowohl historische als auch moderne Verschlüsselungsverfahren kennengelernt und auf ihre Sicherheit hin untersucht. Spezielle Vorkenntnisse der Teilnehmer wurden nicht erwartet. Spaß am Knobeln und Interesse an Mathematik reichten aus.

 

geändert am 24. Oktober 2009  E-Mail: Prof. Dr. Annette Wernerwerner@math.uni-frankfurt.de

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Druckversion: 24. Oktober 2009, 11:03
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