Topologie

BaM-TOP-g, MaM-TOP-g, Wintersemester 2018/19

Prof. Matthias Kreck


  • Vorlesung 'Topologie'

    Di. und Mi., 10.00-12.00 Uhr, in RM6-8, R.308
  • Übung 'Topologie'
    Di., 14.00-16.00 Uhr, in RM6-8, R.308

Die Vorlesung richtet sich an Studierende ab dem 3. Semester. Topologie ist eine der Säulen der Mathematik. Neben dem Gruppenbegriff ist der Begriff des topologischen Raumes der wichtigste Begriff in der Mathematik und ist fast überall präsent. 
Man kann viel Zeit darauf verwenden, diesen Begriff und einige fundamentale Sätze zu beweisen. Wir werden das recht kurz halten, weil wir Methoden kennenlernen wollen, die uns erlauben, topologische Räume voneinander zu unterscheiden. Das geschieht - wie immer in der Mathematik - durch die Konstruktion von Invarianten, das sind im einfachsten Fall Zahlen im komplizierteren Fall Gruppen oder Vektorräume, die man einem topologischen Raum zuordnet, die die Eigenschaften haben, dass „gleichen“ Räumen „gleiche“ algebraische Objekte zugeordnet werden, wobei „gleich“ bei topologischen Räumen bedeutet, dass es eine bijektive in beiden Richtungen stetige Abbildung gibt, sowas nennt man einen Homöomorphismus. Und „gleich“ bei Gruppen oder Vektorräumen bedeutet isomorph. 
Man stellt also eine Verbindung zwischen topologischen Räumen und algebraischen Objekten her, deshalb spricht man von „Algebraischer Topologie“. Dies ist eine vergleichsweise junge mathematische Disziplin, die in den letzten 70 Jahren Triumphe gefeiert hat. Fast die Hälfte aller Fields Medaillen seit 1954 gingen an Mathematiker, in deren Werken algebraische Topologie eine wichtige Rolle spielt. 
Ich habe vor, langsam in diese faszinierende Welt einzuführen. Die ersten Wochen werden wir uns mit den Begriffen der mengentheoretischen Topologie vertraut machen, insbesondere Konstruktionen von wichtigen Beispielen wie Mannigfaltigkeiten und CW-Komplexen kennenlernen. Dann wird die erste algebraische Invariante konstruiert, die Fundamentalgruppe und es werden Berechnungsmethoden entwickelt. Fundamentalgruppen erlauben nicht nur die Unterscheidung einiger Räume (z.B. Knoten), sie sind auch ein Mittel, geometrische Objekte wie Überlagerungen zu klassifizieren. 
Danach werden wir mit den zweiten wichtigen algebraischen Invarianten beginnen: den Homologiegruppen.
Im Unterschied zu den Vorlesungen der ersten zwei Semester werden wir nicht alles im Detail beweisen (aber alles genau definieren). Manchmal werden wir uns auf die Idee beschränken, um Raum für interessante Anwendung und damit letztlich ein tieferes Verständnis zu schaffen. Dadurch wird die Vorlesung hoffentlich auch unterhaltsam.

Kontakt

Prof. Dr. Matthias Kreck

FB12 - Institut für Mathematik
Goethe-Universität Frankfurt
Robert-Mayer-Str. 6-8
60325 Frankfurt am Main

Office: 212
Phone: +49 69 798 - 22326

E-Mail: kreck[at]math.uni-bonn.de


Büro für Algebra und Geometrie:

Matthias Colmar
R.-M.-Str. 6-8, Office: 219
Phone: +49 69 798 - 22309
E-Mail: colmar[at]math.uni-frankfurt.de

Karin Nitsche
R.-M.-Str. 6-8, Office: 207
Phone: +49 69 798 - 23693 
E-Mail: nitsche[at]math.uni-frankfurt.de

Fax: +49 69 798 - 22302