Blockseminar: Gruppenwirkungen auf Varietäten

Prof. Dr. Alex Küronya

Wintersemester 2014/15

Organisatorisches:

  • Blockseminar: 28.01.2015 bis 30.01.2015, 08.00 - 18.00 Uhr, in Robert-Mayer-Str. 6-8, Raum 13c

Voraussetzungen

Die Vorlesung eignet sich für alle, die Mathematik oder theoretische Physik studieren, auch  wenn sie ihren Schwerpunkt nicht in der Geometrie sehen. Abgesehen von den Grundvorlesungen (Analysis und lineare Algebra) werden Grundkenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie und in den letzten Vorträgen (affiner) algebraischer Geometrie (affine algebraische Varietät, Koordinatenring, projektive Varietät) vorausgesetzt.


Gruppenoperationen auf geometrischen Objekten sind die mathematische Formulierung des heuristischen Konzepts von 'Symmetrie', und sind als solches von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik.
Ziel dieses Seminars ist, diesen Begriff in einfachen Situationen, insbesondere für Mengen, topologische Räumen, und zumindest für affine algebraische Varietäten zu verstehen. Nebenbei werden wir viele nette Anwendungen aus anderen Gebieten (Kombinatorik, Gruppentheorie) betrachten, und wenn die Zeit ausreicht, einen Blick auf den Fall von projektiven Varietäten (sogenannte 'geometrische Invariantentheorie') werfen.


Vorträge

(Die Ziffern in den eckigen Klammern [ ] beziehen sich auf die Literaturliste.)

  1. Gruppenwirkungen auf Mengen, Beispiele aus  Geometrie, der Satz von Burnside (Definitionen, universelle Eigenschaft, Quotient der Satz von Burnside) [1, Abschnitt 5.1],[8]
  2. Transitive Gruppenwirkungen auf Mengen, Anwendungen zur Gruppentheorie (Beschreibung von transitiven Gruppenwirkungen, die Sätz von Cauchy und Sylow), \cite[1, Abschnitt 5.2,5.3], [8],[3],[2]
  3. Invariante Polynome, symmetrische Polynome,  Zusammenhang mit der Lösungsmethode von quadratischen und kubischen Polynomen [1], [5], [10]
  4. Gruppenwirkungen auf topologischen Räumen I. (Topologische Gruppen, Quotiententopologie, Probleme mit Quotienten, Hausdorffsche Quotienten, Beispiele) [8], [9] 
  5. Gruppenwirkungen auf topologischen Räumen II. (wie oben) [8], [9] 
  6. Einführung in die algebraische Geometrie I. (affine Varietäten und Koordinatenringe) [6]
  7. Einführung in die algebraische Geometrie II. (projektive Varietäten und homogene Koordinatenringe) [6,4]
  8. Gruppenwirkungen auf affinen Varietäten [11, Abschnitt 3.1]
  9. Der affine Quotient und seine Eigenschaften [11, Abschnitt 3.3]
  10. Endlich Erzeugtheit von Invariantenringen [11, Abschnitt 3.2]
  11. Projektive Quotienten I. [11, Abschnitt 3.4]
  12. Projektive Quotienten II. (Geradenbündel und Linearisierung) [11, Abschnitt 3.5]

Literatur

  1. Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage, Springer
  2. Keith Conrad: Sylow theorems, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/sylowpf.pdf
  3. Keith Conrad: Transitive group actions, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/transitive.pdf
  4. David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea: Ideals, varieties, algorithms
  5. Igor Dolgachev: Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Notes Series 296
  6. Andreas Gathmann: Algebraic Geometry, http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/main.pdf
  7. Alex Küronya: A first course in commutative algebra and algebraic geometry, Skript
  8. Alex Küronya: Group actions on varieties, Skript (deutschsprachige, aber handgeschriebene Version auch erhältlich)
  9. Alex Küronya: Introduction to topology, electronic lecture notes, http://www.math.bme.hu/~kalex/Teaching/Spring10/Topology/TopNotes_Spring10.pdf
  10. Shigeru Mukai: An introduction to invariants and moduli, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 81
  11. Peter E. Newstead: Introduction to moduli problems and orbit spaces,  Narosa Publishing House, 2013
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