Arithmetik elliptischer Kurven

Vorlesung im Wintersemester 2014/15, Zahlentheorie, MaM-ZT-k
von Prof. Dr. Jakob Stix


Vorlesung

Koordinaten

Ort: Ecksaal 309, RM6-8
Zeit: Mittwoch 12-14
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Ankündigung

  • Die Vorlesung am 15.10.2014 fällt krankheitsbedingt aus.

Zum Inhalt der Vorlesung

Für einen komplexen Geometer ist eine elliptische Kurve E zunächst eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht 1 mit einem ausgezeichneten Punkt, also eine kompakte Fläche in der Form eines Donuts (früher sagte man Torus), auf der man lokal eindimensionale komplexe Analysis betreiben kann. Für den algebraischen Geometer ist eine elliptische Kurve am elementarsten durch eine kubische Gleichung gegeben

E :   Y2 = X3 + a2 X2 + a4 X + a6

oder genauer durch die (glatte Kompaktifizierung) der Lösungsmenge in der projektiven Ebene. Hier beginnt die Arithmetik mit der Frage, in welchem Körper man denn die Lösungen zu suchen hat. Jeder Körper K, in dem die Koeffizienten aisinnvoll sind, kommt in Frage und führt zu einer Lösungsmenge E(K). In jedem Fall bilden die Lösungen eine abelsche Gruppe, und das Wechselspiel zwischen Gruppengesetz, Geometrie und Basiswechsel (wenn man K ändert) erlaubt komplizierte arithmetische Fragen:

  • E(Q) ist stets eine endlich erzeugte abelsche Gruppe (Satz von Mordell). Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer macht unter anderem eine Vorhersage über den Rang von E(Q) in Abhängigkeit von leichter zu berechnenden Daten, für deren Beweis 1Million Dollar ausgelobt sind.
  • Die Gruppen E(Fp) der Lösungen in einem endlichen Körper bilden die Grundlage der Kryptographie mittels elliptischer Kurven. Diese kommt zum Beispiel beim elektronischen Personalausweis zum Einsatz.

Elliptische Kurven sind den Methoden verschiedener mathematischer Disziplinen zugänglich, die sich dadurch gegenseitig bereichern. Es entsteht somit ein faszinierend reichhaltiges Gebiet, das explizit genug ist, um gut studiert werden zu können.

Empfohlene Literatur

[ST92] Joseph H. Silverman, John Tate, Rational points on elliptic curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1992, x+281 Seiten.

Übungen

Organisation

  • Die Übungen zur Vorlesung finden in 14-tägigem Rhythmus mittwochs 14-16 Uhr in Raum 310, RM6-8 statt. Die erste Übungsstunde findet am 29.10.2014 statt.
  • Die Anmeldung zum Tutorium erfolgt beim Tutor in der Übungsgruppe.
  • Melden Sie sich bitte spätestens bis zum 31.10.2014 im OLAT als Teilnehmer/in dieser Veranstaltung an.
  • Das neue Übungsblatt gibt es zweiwöchentlich jeweils mittwochs (in den Wochen mit Tutorium) auf dieser Seite. Die Abgabe der Lösungen erfolgt eine Woche darauf in der Vorlesung.

Übungsblätter


Klausur

Es wird anstelle einer Klausur eine mündliche Prüfung geben. Diese finden 13.+16.+17. Februar und 16.+17. März statt. Bitte lassen Sie sich von Frau Salzmann per email einen Termin geben.