Seminar zur Topologie


Prof. Dr. Matthias Kreck

Sommersemester 2016

Seminar:     Di., 14.00 - 16.00 Uhr, Robert-Mayer-Str. 10, R. 711 groß


Vorbesprechung am Dienstag, den 2.2. 2016 um 15 Uhr c.t. im Raum Robert-Mayer-Str. 6-8, R. 308

Das Thema mache ich von dem Interesse und den Vorkenntnissen der Teilnehmer abhängig. Mir kommen folgende Themen in den Sinn:

Thema 1

Einführung in die Knotentheorie

Ein Knoten ist ein mathematisches Modell eines verschlungenen Seils im R^3, dessen Enden verklebt sind. Es geht um die Frage, unter welchen Bedingungen sich zwei Knoten durch deformieren im Raum ineinander überführen lassen. Allein die Modellierung dieses anschaulich klaren Prozesses ist interessant. Und nachdem man Mathematik aus dem Ganzen gemacht hat, will man nun Sätze beweisen, die einem dabei helfen sollen, Knoten zu vergleichen. Das ist bis heute ein ungelöstes Problem, was daran liegt, dass man eigentlich nur Sätze hat, die einem sagen, dass zwei Knoten nicht ineinander deformiert werden können: Konstruktion von Invarianten. Es ist viel schwerer, eine Methode zu entwickeln, die auch ein hinreichendes Kriterium für die Deformierbarkeit liefert. Unser Hauptziel ist es, einige fundamentale Invarianten zu konstruieren.

Thema 2

K-Theorie

Hier geht es um Vektorbündel, das ist grob eine Familie von Vektorräumen, die durch einen topologischen Raum X parametrisiert sind. Sowas tritt zum einen sehr natürich in der Mathematik auf, z.B. das Tangentiabündel einer Mannigfaltigkeit. Andererseits kann man die Komplexität aller möglichen Vektorbündel über einem festen Raum X als Maß dafür nehmen, wie kompliziert der Raum ist. Um das letztere wird es bei diesem Thema gehen. Es werden fundamantale Eigenschaften der Theorie bewiesen und es gibt Anwendungen z.B. auf die klassische Frage, für welche n man den R^n zu einer Divisionsalgebra machen kann, was grob besagt, dass man ein nullteilerfreies Produkt definieren kann wie z.B. die komplexe Multiplikation auf R^2 oder die quaternionale auf R^4 oder .....