Algebra und Geometrie

Proseminar Quadratische Formen

Proseminar im Wintersemester 2016/17, BaM-CM
von Prof. Dr. Jakob Stix

Proseminar: Quadratische Formen

Koordinaten

Ort: Raum 309 Ecksaal, RM 6-8 (Ersatz: 107, RM 10)
Zeit: Dienstag 14-16
QIS/LSF: Proseminar

Ankündigung

  • Die Vorbesprechung war am Di, 19. Juli 2016, 15:00, RM 6-8, Raum 309
  • Der Termin des Proseminars ist auf Dienstag 14-16 verschoben.

Zum Inhalt des Proseminars

Eine quadratische Form über einem Körper K ist in geeigneten Koordinaten ein Ausdruck q(x) = a1 x12 + a2 x22 + ... + an xn2 mit a1, a2, ..., an ∈ K. Über den reellen Zahlen werden quadratische Formen durch ihre Signatur klassifiziert. Die zugehörigen Quadriken {x ∈ Rn ; Q(x) = r} lassen sich geometrisch unter anderem durch den Satz von der Hauptachsentransformation beschreiben.

Das Proseminar wird die Arithmetik quadratischer Formen beleuchten. Ein Hauptziel ist das lokal-global Prinzip von Hasse und Minkowski: eine quadratische Form über Q hat eine Nullstelle, wenn sie überall lokal eine Nullstelle hat. Dies illustriert eine fundamentale Technik der Zahlentheorie, die Aspekte bezüglich einer fixierten Primzahl p durch Übergang zum lokalen Körper Qp der p-adischen Zahlen isoliert zu betrachten. Die Aspekte der Positivität und Größe studiert man durch Übergang zum lokalen Körper R.

Im Proseminar behandeln wir zunächst endliche Körper und quadratische Formen über endlichen Körpern. Dann lernen wir p-adischen Zahlen kennen und entwickeln die lokale Theorie quadratischer Formen, die vom Hilbertsymbol kontrolliert wird. Im Anschlu&szlig globalisieren wir zu quadratischen Formen über Q und abschließend sogar über Z: unimodulare Gitter.

Was man lernt:

endliche Körper, quadratisches Reziprozitätsgesetz, p-adische Zahlen, Invarianten von quadratische Formen, Grothendieck Gruppe.

Es ist geplant, dem Proseminar eine Vorlesung über Elementare Zahlentheorie folgen zu lassen.

Literatur

Jean-Pierre Serre A course in arithmetic, Springer, Graduate Texts in Mathematics 7, 1973.

Voraussetzungen

Benötigt werden Kenntnisse aus den Vorlesungen Lineare Algebra, Grundlagen der Algebra und Geometrie.