Algebra und Geometrie

Algebraische Zahlentheorie I

Vorlesung aus den Modulen MaM-AZT, BaM-ZT im Sommersemester 2021

Dozent:               Prof. Dr. Jakob Stix

Assistent:               Jaro Eichler

Vorlesung

Koordinaten

Ort: Hörsaal 309, RM 6-8
Zeit: Montag und Donnerstag 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Ankündigungen

  • Die Vorlesungen werden mittels Zoom gehalten. Links und Passwort für die live Vorlesungen werden über OLAT bereitgestellt. Sie benötigen keinen persönlichen account um den Vorlesungen folgen zu können.
  • Die Vorlesungen werden aufgezeichnet und den OLAT-Kursteilnehmerinnen und -teilnehmern über das GU-Portal MyMediasite zur Verfügung gestellt (link dazu auch im OLAT-Kurs).
  • Die Vorlesung kann auch im Bachelorstudium eingebracht werden.
  • Im Wintersemester 2021/22 ist eine Fortsetzung als Algebraische Zahlentheorie 2 geplant.

Skript

  • Das aktuelle Skript zur Vorlesung deckt zur Zeit nur einen Teil der Vorlesung ab und wird im Laufe des Semesters eventuell ergänzt: Version vom 11.April 2021
  • Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.

Zum Inhalt der Vorlesung

Die algebraische Zahlentheorie studiert den Begriff der ganzen Zahl in endlichen Erweiterungen des Körpers ℚ. An die Stelle der eindeutigen Primfaktorzerlegung trittt die eindeutige Primidealzerlegung in Dedekindringen (noethersche, ganzabgeschlossene Integritätsringe der Dimension 1, also die nächstkomplizierten Ringe nach den Körpern - zum Beispiel Hauptidealringe). Das Versagen der eindeutigen Primfaktorisierung wird vermöge des Idealbegriffs durch die Klassengruppe gemessen, einer endlichen abelschen Gruppe, deren Endlichkeit ein fundamentales arithmetisches Resultat ist.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit den folgenden Themen beschäftigen:

  • Ganze algebraische Zahlen
  • Norm, Spur und Diskriminante
  • Noethersche Ringe, lokale Ringe, Lokalisierung, Tensorprodukte
  • Diskrete Bewertungsringe und Bewertungen
  • Dedekindringe
  • Geometrie der Zahlen (Minkowski-Theorie): Endlichkeit der Klassengruppe und der Dirichletsche Einheitensatz
  • Dedekindringerweiterungen
  • Verzweigungstheorie, Satz von Hermite-Minkowski
  • Lokale Körper

Empfohlene Literatur

Jürgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie, Nachdruck, Springer, 2006.
Jean-Pierre Serre Local fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics 67, 1979.
Alexander Schmidt Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer, 2007, xi+215 Seiten.
James S. Milne Algebraic number theory, online lecture notes.

Voraussetzungen

Benötigt werden Kenntnisse aus den Vorlesungen Grundlagen der Algebra/Lineare Algebra 1+2 und in geringerem Umfang auch die Algebra. Die Vorlesungen Elementare Zahlentheorie und Kommutative Algebra sind hilfreich aber nicht notwendig.