Zum Inhalt der Vorlesung
Das vorrangige Thema der Vorlesung ist die Theorie der Körper, von
denen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) und C (komplexe Zahlen)
bekannte Beispiele sind. Der Übergang von R nach C entsteht durch
formales Hinzufügen der Lösung einer Polynomgleichung f(x) = 0, nämlich
mit f(x) = x2+1. Dies ist ein Modellfall, der in der
Vorlesung allgemein behandelt wird und in der Galoistheorie endlicher
Körpererweiterungen L/K gipfelt: die Symmetrien der Lösungen einer
Polynomgleichung beschreiben die algebraische Struktur von L/K.
Galoistheorie führt klassische Fragen auf endliche Gruppentheorie zurück, etwa:
- Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel dritteln?
- Kann man mit Zirkel und Lineal einen Würfel verdoppeln?
- Welches regelmäßige n-Eck läßt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?
- Gibt es eine Lösungsformel für Polynomgleichungen allein mit
(höheren) Wurzeln (analog der p/q-Formel für quadratische Gleichungen)
auch in höheren Graden?
Die nötige Gruppentheorie zur Beantwortung der entsprechenden Fragen
über endliche Gruppen wird in der Vorlesung bereitgestellt. Dazu gehören
die Begriffe Auflösbarkeit, Sylow-Gruppe, nilpotente Gruppe.
Weitere Themen je nach Zeit:
- Galoistheorie endlicher Körper
- Kreisteilungskörper
- Die allgemeine Gleichung und elementarsymmetrische Polynome
