Topologie II, Topologie vom differenzierbaren Standpunkt
Vorlesung: Di. 10-12 Uhr
Übung: Di. 12-14 Uhr

An alle Interessenten der Vorlesung Topologie 2 mit Übungen

Es ist zur Zeit alles etwas ungewöhnlich. Ich will das nutzen, um eine etwas andere Vorlesung als sonst zu halten. Ein Zweck dabei ist, auch Studierenden, die Teil 1 nicht gehört haben, die Teilnahme an der Vorlesung zu ermöglichen. Dazu will ich den Stoff in einzelne Themen aufteilen, die am Anfang mit nur wenig Vorkenntnissen verstanden werden können, die später, wenn sich die Studierenden etwas an die Denkweise der algebraischen Topologie gewöhnt haben, anspruchsvoller ausfallen werden, z.T. mit Vorkenntnissen, die als black box eingeführt werden. Ich habe mich noch nicht auf die Themen festgelegt, da ich das auch von den Interessen und Vorkenntnissen der Teilnehmer abhängig machen will. Zum Einstieg will ich auf jeden Fall Homotopiegruppen einführen. Die Definition ist vergleichsweise einfach, dafür ist die Berechnung auch in ganz einfachen Fällen wie Sphären hoffnungslos. Als wichtiges Hilfsmittel wird die lange Homotopiesequenz und die Homotopiesequenz einer Faserung bewiesen. Mit Methoden der Analysis werden wir aber die n-ten Homotopiegruppen der n-dimensionalen Sphären berechnen. Als Spezialfall wird die 1. Homotopiegruppe, Fundamentalgruppe genannt, behandelt. Für diese werden Berechnungsmethoden entwickelt. Es gibt eine wunderbare Beziehung zwischen der Fundamentalgruppe und Überlagerung, die ganz analog zur Galois Theorie ist, die entwickelt wird. Danach wollen wir die Homotopiegruppen verwenden, um für sogenannte CW-Komplexe die (Ko)homologiegruppen zu definieren. Die sind nun vergleichsweise gut zu berechnen. Wir werden die de Rham Kohomologie als black box einführen (falls Teilnehmer kommen, die im letzten Semester nicht dabei waren) und beweisen, dass sie mit den oben erwähnten Kohomologiegruppen übereinstimmen. Ein nächstes Thema könnten charakteristische Klassen sein. Die Vorlesung findet über Zoom statt. Interessenten schreiben bitte eine mail an kreck@math.uni-bonn.de Ich schicke dann den Zoom Link zu. Vorlesungsbeginn ist der 3. November um 10 Uhr. Den Termin der Übungen legen wir dann fest. Falls es einen Wunsch nach Verschiebung der Vorlesung gibt, bitte auch am Dienstag „kommen“. Wir diskutieren das dann.

• Seminar zur Topologie
  Das Seminar findet in Blöcken statt. 
  
  Im Seminar wollen wir eine berühmte Originalarbeit lesen, nämlich Milnor's it „On manifolds homeomorphic to the 7-sphere“. Dort werden ganz explizite exotische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten konstruiert, die allerersten Beispiele. Das klingt vielleicht erschreckend schwierig, es gibt aber erstaunlich viele Teile, die vergleichsweise elementar sind. Hier sind ein paar Stichworte, wobei es in den ersten drei Stichworten um Vorbereitungen geht.
  
  - Die Konstruktion der Kandidaten. Dazu bracht man nur Quaternionen und Vektorbündel. Alles ganz explizit. Dann sollte man die Kohomologiegruppen ausrechnen, wobei man Kohomologie auch als black box verwenden kann.
  
  - Pontrjagin Klassen von Vektorbündeln. Ich habe in meinem Buch „Differential algebraic topology“ eine vergleichsweise einfache Konstruktion gefunden, die man weiter auf den Fall, der uns interessiert, spezialisieren kann. Ich würde dazu genaue Anleitungen geben.
  
  - Die Signatur einer Mannigfaltigeit und Hirzebruch's Signatursatz in Dimension 8. Das ist ein sehr schwerer Satz in der allgemeinen Situation, aber der Beweis in Dimension 8 kann sehr vereinfacht werden. Auch dazu würde ich eine detaillierte Anleitung geben. - Bericht über die Arbeit von Milnor. Auch dazu würde ich eine detaillierte Anleitung geben. Je nachdem wie viele teilnehmen, kann man das detailliert oder übersichtsartig machen. Das ist eine der tollsten Arbeiten, die ich kenne, mit ein Grund, warum Milnor die Fields Medaille bekommen hat. Sowas wunderbares zu lernen, muss doch reizen…. Ich bitte um zeitnahe Rückmeldung per e-mail.