Algebraische Zahlentheorie III (SS 2022)

Vorlesung im Sommersemester 2022, MaM-AZT

Übungsleitung: Theresa Kumpitsch und Jaro Eichler


Vorlesung

Koordinaten

Ort:  Robert-Mayer Str. 6-8, Seminarraum 308
Zeit:  Montag 10-12, Donnerstag 10-12
QIS/LSF: VorlesungÜbungen
OLAT: Algebraische Zahlentheorie 3

Ankündigung

Zum Inhalt der Vorlesung

Die Vorlesung ist konzipiert als Fortsetzung der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie II. Aufbauend auf den Resultaten der Galoiskohomologie speziell lokaler Körper aus Teil II geht es im Teil III um Dualitätstheorie in Gruppen- und Galoiskohomologie. Das Ziel ist die Galoiskohomologie von lokalen und globalen Körpern, deren Struktur und Arithmetik dazu auch untersucht werden wird. Aus lokaler Tate-Dualität folgt sofort im kohomologischen Kalkül mittels Kummertheorie die zentrale Aussage der lokalen Klassenkörpertheorie. Globale Klassenkörpertheorie erhalten wir mit dem Ansatz über die Kohomologie der Ideleklassengruppe und dem Satz von Tate-Nakayama.

Themen:

  • Cup-Produkt in der Gruppenkohomologie
  • dualisierende Moduln und Dualität
  • lokale Tate-Dualität
  • Spektralsequenzen
  • Formel zur lokalen Euler-Charakteristik
  • lokale Klassenkörpertheorie
  • Verzweigungstheorie und Struktur der absoluten Galoisgruppe lokaler Körper
  • Tate-Kohomologie
  • Adele, Idele, Idelklassengruppe
  • Lokal/global-Prinzip für die Brauergruppe
  • Satz von Chebotarev (ohne Dichte)
  • globale Klassenkörpertheorie
  • Galoiskohomologie von Zahlkörpern
  • wenn noch Zeit bleibt: Kohomologie mit lokalen Bedingungen, Wiles-Euler-Charakteristikformel, Artin-Verdier Dualität, Tate-Poitou-Dualität

Empfohlene Literatur

Jean-Pierre Serre Local fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979.
Jean-Pierre Serre Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Springer, 2008.
Cassels, J. W. S., Fr\"ohlich, A., Algebraic Number Theory, 1967.
James S. Milne Algebraic number theory, online lecture notes.
James S. Milne Class Field Theory, online lecture notes.

Übungen

Organisation

Die Uebungen finden freitags von 10 bis 12 Uhr im Raum 903 statt.

Modulprüfung

mündlich nach Vereinbarung.

Prof. Dr. Jakob Stix

FB 12 - Institut für Mathematik
Johann Wolfgang Goethe-Universität
Robert-Mayer-Str. 6-8
D-60325 Frankfurt am Main

Office: 210
Phone: +49-69-798-28998

E-Mail:
stix[at]math.uni-frankfurt.de


Büro für Algebra und Geometrie:

Matthias Colmar
R.-M.-Str. 6-8, Office: 219
Phone: +49 69 798 - 22309 
E-Mail: colmar[at]math.uni-frankfurt.de

Karin Nitsche
R.-M.-Str. 6-8, Office: 207
Phone: +49 69 798 - 23693 
E-Mail: nitsche[at]math.uni-frankfurt.de

Fax: +49 69 798 - 22302