Vorlesung im Wintersemester 2014/15, Zahlentheorie, MaM-ZT-k
von Prof. Dr. Jakob Stix
Ort: Ecksaal 309, RM6-8
Zeit: Mittwoch 12-14
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen
Für einen komplexen Geometer ist eine elliptische Kurve E zunächst eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht 1 mit einem ausgezeichneten Punkt, also eine kompakte Fläche in der Form eines Donuts (früher sagte man Torus), auf der man lokal eindimensionale komplexe Analysis betreiben kann. Für den algebraischen Geometer ist eine elliptische Kurve am elementarsten durch eine kubische Gleichung gegeben
E : Y2 = X3 + a2 X2 + a4 X + a6
oder genauer durch die (glatte Kompaktifizierung) der Lösungsmenge in der projektiven Ebene. Hier beginnt die Arithmetik mit der Frage, in welchem Körper man denn die Lösungen zu suchen hat. Jeder Körper K, in dem die Koeffizienten aisinnvoll sind, kommt in Frage und führt zu einer Lösungsmenge E(K). In jedem Fall bilden die Lösungen eine abelsche Gruppe, und das Wechselspiel zwischen Gruppengesetz, Geometrie und Basiswechsel (wenn man K ändert) erlaubt komplizierte arithmetische Fragen:
Elliptische Kurven sind den Methoden verschiedener mathematischer Disziplinen zugänglich, die sich dadurch gegenseitig bereichern. Es entsteht somit ein faszinierend reichhaltiges Gebiet, das explizit genug ist, um gut studiert werden zu können.
[ST92] | Joseph H. Silverman, John Tate, Rational points on elliptic curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1992, x+281 Seiten. |
Prof. Dr. Jakob Stix
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