Vorlesung im Sommersemester 2020, BaM-LA1, L3M-AG, M1-LA1
von Prof. Dr. Jakob Stix

Vorlesung

Digitale Koordinaten

Alles Organisatorische zur Linearen Algebra 1 finden Sie auf OLAT, insbesondere die links zu den Vorlesungsinhalten, dem aktualisierten Skript sowie zu den Übungsblättern und den Klausurbedingungen.

Präsenzkoordinaten (aktuell ungültig)

Ort: Montag und Donnerstag Hörsaal V (römisch 5!), Hörsaaltrakt Bockenheim
Zeit: Montag 10-12, Donnerstag 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Klausur

• Die Anmeldung zur Erstklausur (24.7.2020) ist ab sofort bis zum 15.07. möglich: Anmeldung zur Erstklausur.
  Der Leistungsnachweis aus den Übungen ist für die Teilnahme an der Klausur nicht notwendig. Im Sinne der Prüfungsordnung Mathematik Bachelor ist die Anmeldung zur Klausur nicht verbindlich. Wir können aber in diesem Corona-Semester nur dann die Klausur durchführen, wenn wir eine vollständige Anmeldungsliste haben, weil wir Ihnen auch noch einen Klausurraum zuweisen müssen. Daher ist Ihre Anmeldung zur Klausur essentiell.

Skript

• Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 5. Februar 2019.
• Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.

Zum Inhalt der Vorlesung

Die Lineare Algebra gehört zum Beginn des Mathematikstudiums wie das Erlernen der Buchstaben am Beginn der Grundschule. Unter einem starken Mikroskop sehen viele Strukturen linear aus. Die Lineare Algebra behandelt das zur Beschreibung nötige Matrizenkalkül, beschreibt abstrakt algebraisch die auftretenden linearen Strukturen (Vektorräume und lineare Abbildungen), und entwickelt eine Theorie, mit der lineare Probleme beherrscht werden können.

Aufgrund der Abstraktion finden wir lineare Algebra in vielseitigen Situationen wieder. Ein (der Einfachheit halber) schwarz-weiß Bild ist ein Vektor in einem Vektorraum mit Koordinaten nur 0 oder 1 (diese 0 und 1 soll man am besten als Elemente des Körpers mit nur zwei Elementen auffassen). Jedes Pixel gibt einen Wert/Koordinate. Läßt man ein paar Koordinaten weg, dann wird das Bild mit weniger Pixeln dargestellt und wird unscharf oder eine Stelle verschwindet. Das geht also nicht.
Um den Speicherbedarf zu reduzieren, bietet es sich an, eine Basistransformation zu machen, so daß zwar dasselbe Bild (Vektor) beschrieben wird aber die Koordinaten nun über das ganze Bild verschmiert eine Bedeutung haben. Wenn man nun weiß, welche Koordinaten in unserer Wahrnehmung des Bildes keine so große Rolle spielen, dann kann man diese Koordinaten getrost vergessen und hat immer noch (fast) das gleiche Bild. So funktioniert im Prinzip Datenkompresssion.

Der ursprüngliche Bewertungsalgorithmus für Suchergebnisse von Google beruht auf einem einfachen linearen Modell einer zufälligen Wanderung durch die Seiten des www. Die Bewertung entstammt dann einem Eigenwertproblem, genauer dem zugehörigen Eigenvektor.

In der Vorlesung lernt man weder Bilddatenkompression noch fehlerkorrigierende Codes (ein weiteres, unbemerkt alltägliches Beispiel abstrakter Vektorräume) noch Googles Suchalgorithmus. Es werden aber die Grundlagen gelegt, um diese Anwendungen der linearen Algebra untersuchen und verstehen zu können, so in etwa wie man mit den Buchstaben Wörter bilden und schließlich ein Buch lesen kann.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit den folgenden Themen beschäftigen:

• Grundstrukturen: Aussagenlogik, Mengen, Gruppen, Ringe, Körper
• Matrixkalkül und lineare Gleichungssysteme
• Objekte: Vektorräume
• Morphismen: lineare Abbildungen
• Die Determinante
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• Normalformen

Empfohlene Literatur

Beide Bücher stehen Studierenden der Goethe-Universtät als e-books zur Verfügung.

Übungen

Übungstermine

Zu den Übungsterminen siehe LSF-Link.

Nützliche Hinweise

• Nutzen Sie das Angebot des Lernzentrums.