Algebraische Zahlentheorie II

Vorlesung im Wintersemester 2016/17, MaM-ZT-ks
von Prof. Dr. Jakob Stix


Vorlesung

Koordinaten

Ort: Raum 309 Ecksaal, RM 6-8 (Ersatz: 107, RM 10)
Zeit: Mittwochs 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen

Ankündigung

  • Die Vorlesung am 14.12. 2016 fällt aus.

Zum Inhalt der Vorlesung

In dieser Vorlesung werden wir uns mit Klassenkörpertheorie globaler und lokaler Zahlkörper beschäftigen. Klassenkörpertheorie studiert abelsche Erweiterungen - also galoissche mit abelscher Galoisgruppe - eines Körpers K. Gemäß eines abstrakten Konzepts gelingt ihr dies, indem sie gewissen Restklassengruppen (daher der Name) aus der "inneren'' Arithmetik (im weitesten Sinne die multiplikative Gruppe Kx) Galoiserweiterungen zuordnet. Damit wird eine Brücke zur "äußeren'' Arithmetik geschlagen, dem Lösen von Gleichungen in K-Algebren. Beginnend mit Gauß und seinem quadratischen Reziprozitätsgesetz hat dieses Gebiet eine lange, wechselvolle Entwicklung erfahren. Seine Bewältigung stellt eine herausragende Leistung der Mathematik des 20. Jahrhunderts dar und dient als Grundlage für mannigfache aktuelle Mathematik (Langlands-Programm, höhere Klassenkörpertheorie, anabelsche Geometrie). Methodisch stehen viele Wege zur Verfügung: analytisch, algebraisch, idelisch-kohomologisch. Die Vorlesung verfolgt konsequent den letztgenannten. In ihm tritt mit den Lokal-Global-Prinzipien eine (zugegeben simple) geometrische Vorstellung in Erscheinung. Zunächst werden lokal, d.h. für Erweiterungen von Qp bzw. Fq((t)) abelsche Erweiterungen beschrieben. Im Anschluß gelingt dies dann auch im globalen Fall endlicher Erweiterungen von Q bzw. Fq(t), wobei man davon profitiert, den lokalen Fall schon verstanden zu haben.

Themen:

  • Lokale Körper, Adele und Idele
  • Hilbert'sche Verzweigungstheorie, Frobeniuselemente
  • Galoiskohomologie
  • Der Satz von Tate-Nakayama und a abstrakte Klassenkörpertheorie
  • Die Brauergruppe lokaler Körper und lokale Klassenkörpertheorie
  • Lubin-Tate Theorie: der lokale Existenzsatz
  • Kohomologie der Idele, Herbrandquotient der Idelklassengruppe
  • Frobeniuselemente erzeugen die Galoisgruppe
  • Kummertheorie, Hasse'scher Normensatz, Brauergruppe globaler Körper
  • Artin-Reziprozität
  • Strahlklassenkörper
  • Satz von Kronecker-Weber
  • Idealtheoretische Formulierung, Hauptidealsatz

Empfohlene Literatur

Emil Artin, John Tate Class Field Theory, Benjamin, 1967.
Cassels, J. W. S., Fr\"ohlich, A., Algebraic Number Theory, 1967.
Jürgen Neukirch Klassenkörpertheorie, BI, 1969.
Jürgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie, Nachdruck, Springer, 2006.
Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg Cohomology of Number Fields, Springer, 2000.
Jean-Pierre Serre Local fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics 67, 1979.
Alexander Schmidt Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer, 2007, xi+215 Seiten.
James S. Milne Algebraic number theory, online lecture notes.
James S. Milne Class Field Theory, online lecture notes.

Übungen

Organisation

  • Die Übung zur Vorlesung findet vierzehntägig mittwochs 14-16, in Raum 309, RM 6-8 (Ersatz: Raum 107, RM 10) statt.

Modulprüfung

Zeit, Ort, Organisatorisches

    • Es finden mündliche Prüfungen statt. Diese dauern etwa 30 Minuten. Der Prüfungstemine sind am

      16.+17. Februar 2017 sowie am 29.+30. März 2017.

      Bitte lassen Sie sich von Frau Salzmann per email einen Termin geben.

Kontakt

Prof. Dr. Jakob Stix

FB 12 - Institut für Mathematik
Johann Wolfgang Goethe-Universität
Robert-Mayer-Str. 6-8
D-60325 Frankfurt am Main

Office: 210
Phone: +49-69-798-28998

E-Mail:
stix[at]math.uni-frankfurt.de


Büro für Algebra und Geometrie:

Matthias Colmar
R.-M.-Str. 6-8, Office: 219
Phone: +49 69 798 - 22309 
E-Mail: colmar[at]math.uni-frankfurt.de

Karin Nitsche
R.-M.-Str. 6-8, Office: 207
Phone: +49 69 798 - 23693 
E-Mail: nitsche[at]math.uni-frankfurt.de

Fax: +49 69 798 - 22302