Vorlesung im Wintersemester 2016/17, MaM-ZT-ks
von Prof. Dr. Jakob Stix
Ort: Raum 309 Ecksaal, RM 6-8 (Ersatz: 107, RM 10)
Zeit: Mittwochs 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen
In dieser Vorlesung werden wir uns mit Klassenkörpertheorie globaler und lokaler Zahlkörper beschäftigen. Klassenkörpertheorie studiert abelsche Erweiterungen - also galoissche mit abelscher Galoisgruppe - eines Körpers K. Gemäß eines abstrakten Konzepts gelingt ihr dies, indem sie gewissen Restklassengruppen (daher der Name) aus der "inneren'' Arithmetik (im weitesten Sinne die multiplikative Gruppe Kx) Galoiserweiterungen zuordnet. Damit wird eine Brücke zur "äußeren'' Arithmetik geschlagen, dem Lösen von Gleichungen in K-Algebren. Beginnend mit Gauß und seinem quadratischen Reziprozitätsgesetz hat dieses Gebiet eine lange, wechselvolle Entwicklung erfahren. Seine Bewältigung stellt eine herausragende Leistung der Mathematik des 20. Jahrhunderts dar und dient als Grundlage für mannigfache aktuelle Mathematik (Langlands-Programm, höhere Klassenkörpertheorie, anabelsche Geometrie). Methodisch stehen viele Wege zur Verfügung: analytisch, algebraisch, idelisch-kohomologisch. Die Vorlesung verfolgt konsequent den letztgenannten. In ihm tritt mit den Lokal-Global-Prinzipien eine (zugegeben simple) geometrische Vorstellung in Erscheinung. Zunächst werden lokal, d.h. für Erweiterungen von Qp bzw. Fq((t)) abelsche Erweiterungen beschrieben. Im Anschluß gelingt dies dann auch im globalen Fall endlicher Erweiterungen von Q bzw. Fq(t), wobei man davon profitiert, den lokalen Fall schon verstanden zu haben.
Themen:
Emil Artin, John Tate | Class Field Theory, Benjamin, 1967. |
Cassels, J. W. S., Fr\"ohlich, A., | Algebraic Number Theory, 1967. |
Jürgen Neukirch | Klassenkörpertheorie, BI, 1969. |
Jürgen Neukirch | Algebraische Zahlentheorie, Nachdruck, Springer, 2006. |
Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg | Cohomology of Number Fields, Springer, 2000. |
Jean-Pierre Serre | Local fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics 67, 1979. |
Alexander Schmidt | Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer, 2007, xi+215 Seiten. |
James S. Milne | Algebraic number theory, online lecture notes. |
James S. Milne | Class Field Theory, online lecture notes. |
Prof. Dr. Jakob Stix
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