• Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 7. Februar 2017
  Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann.

Zum Inhalt der Vorlesung

Das vorrangige Thema der Vorlesung ist die Theorie der Körper, von denen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) und C (komplexe Zahlen) bekannte Beispiele sind. Der Übergang von R nach C entsteht durch formales Hinzufügen der Lösung einer Polynomgleichung f(x) = 0, nämlich mit f(x) = x²+1. Dies ist ein Modellfall, der in der Vorlesung allgemein behandelt wird und in der Galoistheorie endlicher Körpererweiterungen L/K gipfelt: die Symmetrien der Lösungen einer Polynomgleichung beschreiben die algebraische Struktur von L/K.

Galoistheorie führt klassische Fragen auf endliche Gruppentheorie zurück, etwa:

• Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel dritteln?
• Kann man mit Zirkel und Lineal einen Würfel verdoppeln?
• Welches regelmäßige n-Eck läßt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?
• Gibt es eine Lösungsformel für Polynomgleichungen allein mit (höheren) Wurzeln (analog der p/q-Formel für quadratische Gleichungen) auch in höheren Graden?

Die nötige Gruppentheorie zur Beantwortung der entsprechenden Fragen über endliche Gruppen wird in der Vorlesung bereitgestellt. Dazu gehören die Begriffe Auflösbarkeit, Sylow-Gruppe, nilpotente Gruppe.

Weitere Themen je nach Zeit:

• Galoistheorie endlicher Körper
• Kreisteilungskörper
• Die allgemeine Gleichung und elementarsymmetrische Polynome

Empfohlene Literatur

Übung

Nützliche Hinweise

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