Hier finden Sie Informationen zur Vorlesung und Übung Lie-Gruppen und Algebraische Gruppen für Studierende im Bachelor und Master, sowie im Lehramt L3 im Wintersemester 2023/2024.
Bei Fragen wenden Sie sich bitte per Mail an Dr. Johannes Horn oder Prof. Dr. Martin Möller, bei Fragen zur Übung an Johannes Schwab oder Nicole Müller.
Von Lie-Gruppen zu arithmetischen Gittern
Welche Untergruppen hat GL(n,R) oder GL(n,C)? Natürlich kann man die
Permutationsgruppen und damit jede endliche Gruppe in GL(n,R) einbetten.
Wenn man sich auf abgeschlossene zusammenhängende Untergruppen einschränkt,
so ist dies die Frage nach der Klassifikation von Lie-Gruppen. Beispiele
hiefür sind orthogonale Gruppen oder unitäre Gruppen. Der erste Teil der
Vorlesung behandelt fundamentale Eigenschaften von Lie-Gruppen bis hin
zur Klassifikation von sogenannten einfachen Lie-Gruppen mit Hilfe von
Wurzelsystemen.
In C oder allgemeiner in Rn gibt es diskrete kokompakte Untergruppen,
welche man auch Gitter nennt. Wenn man C oder Rn als Gruppe von strikten
oberen Dreiecksmatrizen auffasst, ist es eine naheliegende und wichtige Frage,
in welchen Lie-Gruppen es Gitter gibt. Wir werden sehen, wie man durch
arithmetische Konstruktionen sogenannte arithmetische Gitter bekommt, um die es im zweiten Teil der Vorlesung geht.
Um auch das Beispiel SL(n,Z) in SL(n,R) mitaufzunehmen, werden wir den
Gitterbegriff mit Hilfe des Haarschen Maßes auf Liegruppen verallgemeinern.
Vielleicht werden wird am Ende der Vorlesung zeigen können, dass im
Gegensatz zu Rn, Gitter in Lie-Gruppen wie SL(n,R) für n > 2 starr sind,
also nicht deformiert werden können.
Wann und wo
Voraussetzungen
Vorlesungen des Grundstudium
Übungsblätter
Stichworte zur Vorlesung
Hier finden Sie Stichworte zu den behandelten Themen. Die Datei wird regelmäßig aktualisiert.
Literatur
- A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction. 2nd ed. Birkhäuser (2002).
- D. Bump, Lie groups. 2nd ed. Springer (2013).
- D. W. Morris, Introduction to arithmetic groups: Deductive Press (2015). Arxivlink
- R. J. Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Birkhäuser (1984).
