Algebra
Vorlesung im Wintersemester 2016/17, BaM-AZ-g, L3M-HM
von Prof. Dr. Jakob Stix
Vorlesung
Koordinaten
Ort: Raum 308, RM 6-8 (Ersatz: 311, RM10)
Zeit: Dienstags + Donnerstags 10-12
QIS/LSF: Vorlesung, Übungen
Ankündigungen
- Ab Januar 2017 findet die Vorlesung im Raum 311, RM 10 statt.
- Die Vorlesung am Donnerstag, den 3.11., entfällt.
- Bitte melden Sie sich bis spätestens 20.10. um 20 Uhr in eine Übungsgruppe im OLAT an.
Skript
- Das Skript zur Vorlesung wird im Laufe des Semesters ergänzt: Version vom 7. Februar 2017
Bitte beachten Sie, daß das Skript im Laufe des Semesters auch in den vorderen Kapiteln geändert, korrigiert und ergänzt werden kann. - Bisher behandelte Themen
- Faktorringe des Polynomrings
- Körpererweiterungen
- Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
- Lokalisierung und Quotientenkörper
- Adjunktion einer Nullstelle
- Körpereinbettungen, lineare Unabhängigkeit von Charakteren
- Zerfällungskörper, normale Erweiterungen
- Maximale Ideale und das Lemma von Zorn
- algebraischer Abschluß und die Steintz'schen Sätze
- diskrete Bewertungsringe, Gauß-Lemma, Eisenstein-Kriterium, Irreduzibilität
- Charakteristik und Primkörper
- Frobenius
- algebraische Differentiation, separable Polynome, separable Elemente, separable Erweiterungen
- Endliche Körper
- Endliche multiplikative Gruppen in Körpern sind zyklisch
- Satz vom primitiven Element
- galoissche Körpererweiterungen
- Hauptsatz der Galoistheorie
- Permutationsgruppen und Galoistheorie von Polynomen
- Norm und Spur
- Einheitswurzeln und Kreisteilungskörper
- Sylowsätze
- p-Gruppen
- Fundamentalsatz der Algebra
- Auflösbarkeit und Radikalerweiterungen
- Funktionenkörper, Transzendenzgrad
- Symmetrische Polynome und die allgemeine Gleichung
Zum Inhalt der Vorlesung
Das vorrangige Thema der Vorlesung ist die Theorie der Körper, von denen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) und C (komplexe Zahlen) bekannte Beispiele sind. Der Übergang von R nach C entsteht durch formales Hinzufügen der Lösung einer Polynomgleichung f(x) = 0, nämlich mit f(x) = x2+1. Dies ist ein Modellfall, der in der Vorlesung allgemein behandelt wird und in der Galoistheorie endlicher Körpererweiterungen L/K gipfelt: die Symmetrien der Lösungen einer Polynomgleichung beschreiben die algebraische Struktur von L/K.
Galoistheorie führt klassische Fragen auf endliche Gruppentheorie zurück, etwa:
- Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel dritteln?
- Kann man mit Zirkel und Lineal einen Würfel verdoppeln?
- Welches regelmäßige n-Eck läßt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?
- Gibt es eine Lösungsformel für Polynomgleichungen allein mit (höheren) Wurzeln (analog der p/q-Formel für quadratische Gleichungen) auch in höheren Graden?
Die nötige Gruppentheorie zur Beantwortung der entsprechenden Fragen über endliche Gruppen wird in der Vorlesung bereitgestellt. Dazu gehören die Begriffe Auflösbarkeit, Sylow-Gruppe, nilpotente Gruppe.
Weitere Themen je nach Zeit:
- Galoistheorie endlicher Körper
- Kreisteilungskörper
- Die allgemeine Gleichung und elementarsymmetrische Polynome
Empfohlene Literatur
[Ar93] | Michael Artin, Algebra, Birkhäuser, Basel, 1993, xiv+705 Seiten. |
[Bo08] | Siegfried Bosch, Lineare Algebra, Springer, 2008, x+297 Seiten. |
[KM13] | Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, Algebra. Gruppen, Ringe, Körper, 3. Auflage, Heidelberg, Springer Spektrum, 2013, xi+386 Seiten. |
[La02] | Serge Lang, Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 211, Springer-Verlag, New York, 2002, xvi+914 Seiten. |
Übungen
Organisation
- Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt im OLAT und ist freigeschaltet von 13.10. um 15:00 Uhr bis 20.10. um 20:00 Uhr.
- Beginn des Übungsbetriebs am Freitag, dem 21.10.2016.
- Das neue Übungsblatt gibt es jeweils dienstags auf dieser Seite und im OLAT. Die Abgabe der Lösungen erfolgt durch Einwerfen in das Postfach des jeweiligen Tutors, Robert-Mayer-Straße 6, dritter Stock. Abgabeschluss ist immer am Dienstag um 10 Uhr eine Woche später.
- Sollten abgegebene Lösungen verschiedener Personen identisch sein, so werden sie alle mit null Punkten bewertet. Abschreiben ist kein Kavaliersdelikt, sondern ein Betrugsversuch!
Übungsblätter
- 1. Übungsblatt
- 2. Übungsblatt
- 3. Übungsblatt
- 4. Übungsblatt
- 5. Übungsblatt
- 6. Übungsblatt
- 7. Übungsblatt
- 8. Übungsblatt
- 9. Übungsblatt
- 10. Übungsblatt
- 11. Übungsblatt
- 12. Übungsblatt
- 13. Übungsblatt
- 14. Übungsblatt
Übungstermine
- Fr. 14:00-16:00, Raum 309, RM 6-8 (Ersatz: Raum 107, RM 10)
- Mo. 16:00-18:00, Raum 309, RM 6-8 (Ersatz: Raum 107, RM 10)
Nützliche Hinweise
- Nutzen Sie das Angebot des Lernzentrums.
Modulprüfung
Zeit, Ort, Organisatorisches
- Es finden mündliche Prüfungen statt. Diese dauern etwa 30 Minuten. Der Prüfungstemine sind am
16.+17. Februar 2017 sowie am 29.+30. März 2017.
Bitte lassen Sie sich von Frau Salzmann per email einen Termin geben.